如果马里奥从日本挖一个洞,能挖到里约吗?

2016-08-24 12:22:06    所在频道:  知识    来源: 市南科普在线

  如果马里奥从日本挖一个洞,能直着挖到里约吗?

  里约奥运会闭幕了,按照惯例,下一届奥运会的主办方东京在闭幕式上准备了8分钟宣传短片和演出。短片的一大亮点,就是赶不上闭幕式的安倍首相在哆啦A梦和超级马里奥的帮助下跳进了东京的一个管道,从地球对面的里约钻了出来。

  所以……我们当然要算一下这是否可能了。

  【东京真的在里约对面吗?】

  其实只是差不多在,二者相差12个纬度2个经度。

  日本和巴西很近,但其实日本的对跖点基本都在海上,也就冲绳例外:

  【理想地球下,真的能从东京跳进去就从另一面出来吗?】

  本来这部分的小标题想写“真空中的球形地球”的,但是转念一想,地球本来就是真空中的球形地球啊……

  咳咳,总之,一个理想化的地球是没有自转的均匀完美球体,如果在它上面打一个贯穿地心的真空直洞,连接两个相对的对跖点,那么人在里面坠落就只受重力。这样的情况下,不但能,而且非常之快——远远胜过最快的飞机。

  那么,以下我们将证明,只靠重力穿过地球的单程旅行需要42分钟。懒得动脑的话可以跳过不看,但这个证明真的不难,而且相当漂亮:

  当人站在地球表面的时候,人受到整个地球的吸引。这些引力虽然都是往“下”的,但指向各不相同的斜下方,比如你在上海的时候北京和广州对你的引力方向就大不一样——然而,因为数学是美妙的,所以我们能证明:这些引力合起来的效果,和把整个地球所有质量集中在地心一点的效果,正好一样。

  而当人掉进地球内部的时候,受到的引力就真的是指向四面八方了。幸运的是,还是因为数学的美妙,我们能证明:假如你和地心的距离是d,那么这些引力合起来的效果,和一个半径是d的小地球的效果,正好一样。而从这个距离到地球表面这一段的球壳,正好自己和自己抵消了。

  根据引力加速度公式, a = G · M · d^-2;

  其中G是不变的常数,M是“小地球”的质量,M = ρ · V = ρ · 4/3 · π · d^3;

  代入进去可以得到, a = G · ρ · 4/3 · π · d.(当 d = 地球半径 r 的时候,a 就是地表的重力加速度g。)

  前面那一堆都是常数,重点在最后:你受到的地球的引力,和你与地心的距离,正好是完美的正比关系。

  ……这关系是不是很眼熟?

  正好和胡克定律一模一样呀!连在弹簧上的小球,可不就是受力和距离成正比的标准简谐运动么。

  而简谐运动的周期是 T = 2π · ( d/a ) ^1/2,所以很容易得到,T = 5068秒,大约84.5分钟。这是一个来回的距离,而单程需要42分钟。

  一个有趣的非巧合:这个周期公式和绕地球圆周运动的人造卫星公式一模一样。换言之,如果我们在跳进洞里的瞬间发射一颗卫星令其贴地飞行(忽略空气和地形起伏),那么在另一头出洞的时候,卫星正好也会飞到目的地迎接你。

  另一个有趣的事实:注意这个周期公式里的d/a 一项,因为 a 本来就正比于d,所以二者可以约掉。换言之,旅行所需时间(不考虑相对性)和星球的大小无关。不管任何星球,无论它多大,只要密度和理想地球一样,那单程所需时间一定都是42分钟。

  在一个理想地球里,这是一种非常完美的交通运输方式。首先,旅行者全程失重,想摆什么姿势就能摆什么姿势。其次,无需消耗任何能源。第三,旅行的前半程逐渐加速,过地心时抵达每小时28万千米的最快速度,经过地心之后又逐渐减速,到对面的时候速度正好回到了0。不过你得赶紧抓住个什么东西,不然又掉回去了。

  当然咯,我们的地球一点都不理想……

  【现实中的地球嘛,呵呵】

  之所以这么好的交通还没有成为现实,是因为这么几个基本问题:

  1 纯正管道要连接地球表面相对的两个点,问题是地球上大部分人口密集区的对面都是海洋啊……真正住人的地方能对上的,只有中国局部地区/东南亚和南美。

  2 隧道必须是真空的。要想让穿过地心的运动成为简谐运动,那就不能有阻力,否则人的最快速度只能抵达每秒一百多米,以这样的速度不但抵达地心要花10小时以上,而且远远不足以从另一端穿出,很快就会掉回去,最后停在地心动弹不得,那时候可就谁也救不了你了。

  但是人又不能在真空中呼吸……所以肉身直接跳下去是不可能了,只能坐气密舱或者穿太空服。

  顺便说,普通氧气面罩在真空里是无效的:虽然它们能把氧气送到你嘴边,但你吸不进去。人的呼吸是扩大胸廓,令肺部压强低于外界气压,将气体抽进去;普通氧气面罩是不密封的,喷出来的氧气会立刻逃逸,形不成真正的压强,自然也就不会往肺里走。

  3 现实中地球有自转。除非隧道连通的是南北两极,不然人一定是有自转线速度的,在赤道上这个速度最大——超过每秒460米。地球自转的角速度一定,因此越往地心线速度越小,而你的线速度却还是地表的最大值,所以刚跳进去用不了多久就会碰壁,然后承受墙壁的摩擦力减速,最终落得和场景2一样的下场。

  解决方法,要么把管道壁做成绝对光滑的无摩擦表面(似乎不太可能),要么就不能挖直线管道了,得挖出一个更加复杂的弧线。那么以上的计算当然也就全都失效了。

  4 隧道会经过地心。地心大概是个熔融的大铁球,温度有大概6000摄氏度。迄今为止人类还没有制造出能在这么高温度下还保持固态的东西——纪录保持者是铪钽碳合成材料,3900摄氏度而已。别说温度了,就连钻一个这么深的洞都做不到:人类现在最深的钻井——科拉超深井——只有区区12.2千米而已。

  所幸,马里奥里出现过能抵抗熔岩的红色管道,还能钻过这样的管道而毫发无伤。诚然,近地面的熔岩温度其实不高,不过一千两百度而已,但反正马里奥的地下关也没说有多深。只要让哆啦A梦稍微费点功夫,在地下部分修些红色管道就行。

  但是,你都有哆啦A梦了,直接做个任意门不好吗……